Giải bất phương trình $2{\log }_3(4x-3)+{\log }_{\frac{1}{3}}(2x+3)\le 2$

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $4x-3>0\Rightarrow x>\frac{3}{4}$ (khi đó $2x+3>0$ tự thỏa).

Viết lại: $2{\log }_3(4x-3)+{\log }_{1/3}(2x+3)=2{\log }_3(4x-3)-{\log }_3(2x+3)={\log }_3\frac{(4x-3{)}^2}{2x+3}$.

Bất phương trình trở thành ${\log }_3\frac{(4x-3{)}^2}{2x+3}\le 2={\log }_{3}9$, vì cơ số $3>1$ nên:
$$\frac{(4x-3{)}^2}{2x+3}\le 9\iff 16x^2-24x+9\le 18x+27\iff 16x^2-42x-18\le 0\iff 8x^2-21x-9\le 0.$$

Phương trình $8x^2-21x-9=0$ có nghiệm $x=\frac{21\pm \sqrt{441+288}}{16}=\frac{21\pm 27}{16}$, tức $x=-\frac{3}{8}$ hoặc $x=3$.

Vậy $-\frac{3}{8}\le x\le 3$, kết hợp điều kiện $x>\frac{3}{4}$ ta được tập nghiệm $\boxed{\left(\frac{3}{4};3\right]}$.

Kiểm tra: tại $x=3$: $2{\log }_{3}9-{\log }_{3}9=4-2=2\le 2$ ✓; tại $x=1$: $2{\log }_{3}1-{\log }_{3}5=-{\log }_{3}5<2$ ✓.