Cho khối chóp tam giác đều $S.ABC$ có độ dài cạnh đáy bằng $a$. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $60^{\circ }$.

a) Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$.

a) Gọi $I$ là trung điểm $BC$ và $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$.

[Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]

Ta có: $SG\perp (ABC)$ nên $SG$ là đường cao của khối chóp $S.ABC$. Có $GA$ là hình chiếu của $SA$ lên $(ABC)$. Suy ra $(SA,(ABC))=(SA,GA)=\widehat{SAG}=60^{\circ }$.

Ta có: $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta ABC}.SG$.

$S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, $SG=\tan 60^{\circ }.AG=\sqrt{3}.\left(\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)=a$.

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}{a}^2\frac{\sqrt{3}}{4}.a=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$.

b) $d(SB,AC)=d(SA,BC)$. Kẻ $IJ\perp SA$, ta có $BC\perp (SAI)\Rightarrow BC\perp IJ$ nên $IJ$ là đường vuông góc chung của $SA$ và $BC$. $\Rightarrow d(SA,BC)=IJ=AI.\sin 60^{\circ }=a\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{4}$. Vậy $d(SB,AC)=\frac{3a}{4}$.