Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có thể tích bằng $2018$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$. Mặt phẳng $(M{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ chia khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ thành hai khối đa diện. Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh $A$.

Đặt thể tích khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là $V=2018$.

Trong mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, gọi $E=B^{\prime }M\cap A{A}^{\prime }$. Vì $M$ là trung điểm $AB$ và $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ nên $A$ là trung điểm $A^{\prime }E$, do đó $E{A}^{\prime }=2A{A}^{\prime }$.

Trong mặt phẳng $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$, đường thẳng $E{D}^{\prime }$ cắt $AD$ tại điểm $N$. Tương tự, $N$ là trung điểm của $AD$.

Mặt phẳng $(M{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ cắt khối hộp theo thiết diện tạo thành khối chóp cụt hoặc chia phần chứa đỉnh $A$ liên quan đến hình chóp $E.A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ và hình chóp $E.AMN$:
- $V_{E.A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{1}{3}d(E,(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }))\cdot S_{△A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{1}{3}(2h)\left(\frac{1}{2}{S}_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}\right)=\frac{1}{3}V$.
- Khối chóp $E.AMN$ có:
$\frac{V_{E.AMN}}{V_{E.A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }}}=\frac{EA}{E{A}^{\prime }}\cdot \frac{EM}{E{B}^{\prime }}\cdot \frac{EN}{E{D}^{\prime }}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
$\Rightarrow V_{A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }.AMN}=V_{E.A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }}-V_{E.AMN}=\left(1-\frac{1}{8}\right)V_{E.A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{7}{8}\cdot \frac{1}{3}V=\frac{7}{24}V$

Thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh $A$ là:
$V_1=\frac{7}{24}V=\frac{7}{24}\cdot 2018=\frac{7063}{12}$

Vậy thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh $A$ là $\frac{7063}{12}$.