Cho lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $I$, $K$. $G$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC;A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime };AC{C}^{\prime }$. Gọi $M,M^{\prime },F$ lần lượt là trung điểm của $BC,B^{\prime }{C}^{\prime },C{C}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A=(0;0;0),B=(1;0;0),C=(0;1;0),A^{\prime }=(0;0;1),B^{\prime }=(1;0;1),C^{\prime }=(0;1;1)$. Khi đó $I=(\frac{1}{3};\frac{1}{3};0)$, $K=(\frac{1}{3};\frac{1}{3};1)$, $G=(0;\frac{2}{3};\frac{1}{3})$, $M=(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0)$, $M^{\prime }=(\frac{1}{2};\frac{1}{2};1)$, $F=(0;\frac{1}{2};\frac{1}{2})$.

a) $M{M}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ là phương cạnh bên. Đường thẳng qua $I$ song song $M{M}^{\prime }$ cắt $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ tại điểm dịch chuyển của $I$ theo vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, tức trọng tâm tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là $K$. Đúng.

b) $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\frac{AI}{AM}=\frac{2}{3}$; tương tự $G$ là trọng tâm tam giác $AC{C}^{\prime }$ với đường trung tuyến $AF$ nên $\frac{AG}{AF}=\frac{2}{3}$. Mệnh đề nói bằng $\frac{1}{3}$ nên Sai.

c) Mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ có phương trình $x+y=1$. Vectơ $\overrightarrow{IG}=(-\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3})$ có tổng $x+y$ không đổi nên $IG\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, mà $I\notin (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ vì $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\ne 1$. Vậy $IG$ không cắt mặt phẳng này. Sai.

d) Mặt $(AI{B}^{\prime })$: pháp tuyến $\overrightarrow{AI}\times \overrightarrow{A{B}^{\prime }}\propto (1;-1;-1)$, phương trình $x-y-z=0$. Mặt $(A^{\prime }KG)$: $\overrightarrow{A^{\prime }K}\times \overrightarrow{A^{\prime }G}\propto (-1;1;1)\propto (1;-1;-1)$, và $A^{\prime }$ không thuộc $x-y-z=0$ (thay vào được $-1$). Hai mặt phẳng có cùng pháp tuyến và không trùng nên song song. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường qua $I$ song song $M{M}^{\prime }$ (phương cạnh bên) cắt $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ tại trọng tâm tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, tức $K$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm chia đường trung tuyến theo tỉ số $2:1$ tính từ đỉnh, nên $AI/AM=AG/AF=2/3\ne 1/3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ trên, $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$: $x+y=1$, còn $\overrightarrow{IG}=(-1/3;1/3;1/3)$ song song mặt phẳng và $I$ không thuộc mặt phẳng, nên $IG\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, không cắt.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai mặt phẳng đều có pháp tuyến $(1;-1;-1)$ và $A^{\prime }\notin (AI{B}^{\prime })$, nên $(A^{\prime }KG)\parallel (AI{B}^{\prime })$.