Cho một tấm bìa hình vuông có cạnh $2m$. Từ tấm bìa này làm một mô hình kim tự tháp Ai Cập, người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là các cạnh của hình vuông rồi gấp lên và ghép lại thành một hình chóp tứ giác đều.

Thể tích của mô hình lớn nhất khi cạnh đáy của mô hình bằng $\frac{a\sqrt{2}}{b}(m)$ ($a,b\in \mathbb{Z};a,b$ nguyên tố cùng nhau). Tính tổng $a^2+b^2$?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là khoảng cách từ đỉnh mỗi tam giác cân bị cắt đến cạnh tương ứng của hình vuông cạnh $2$ ($0<x<1$), các đỉnh nằm trên các trung tuyến của hình vuông. Bốn tam giác cân bị cắt bỏ có đáy là các cạnh hình vuông và đỉnh cách cạnh một khoảng $x$; phần bìa còn lại gồm hình vuông trung tâm nối với bốn tam giác cân ở bốn góc. Gấp bốn tam giác này lên theo các cạnh của hình vuông trung tâm, bốn đỉnh góc gặp nhau tại đỉnh chóp.

Cạnh đáy hình chóp là cạnh của hình vuông trung tâm: $s=\sqrt{2}(1-x)$. Cạnh bên của mặt bên (cạnh huyền của tam giác bị cắt): $\sqrt{1+x^2}$. Nửa đường chéo đáy: $\frac{s}{\sqrt{2}}=1-x$. Chiều cao chóp: $h=\sqrt{(1+x^2)-(1-x{)}^2}=\sqrt{2x}$.

Thể tích: $V(x)=\frac{1}{3}{s}^{2}h=\frac{2}{3}(1-x{)}^2\sqrt{2x}$, với $0<x<1$.

Xét $f(x)=(1-x{)}^4\cdot 2x$: $f^{\prime }(x)=2(1-x{)}^3(1-5x)=0\Rightarrow x=\frac{1}{5}$ (đạt max vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ đến $-$).

Khi đó cạnh đáy $s=\sqrt{2}\left(1-\frac{1}{5}\right)=\frac{4\sqrt{2}}{5}$, tức $a=4,b=5$ (nguyên tố cùng nhau).

Vậy $a^2+b^2=16+25=41$.