Cho nửa đường tròn đường kính $AB$. Biết rằng $AC$ và $BD$ là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại $E$. Tính $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{BD}$ biết AB = 2.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: A=(0;0), B=(2;0), nửa đường tròn tâm O=(1;0) bán kính 1. Gọi E=(1;y) là giao của hai dây AC và BD (E nằm trong đường tròn). Vì E nằm trên dây AC nên $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AC}=A{E}^2+AE\cdot EC$; tương tự $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{BD}=B{E}^2+BE\cdot ED$. Theo hệ thức lượng (phương tích của điểm E): $AE\cdot EC=BE\cdot ED=R^2-O{E}^2=1-y^2$. Mặt khác $A{E}^2=1+y^2$, $B{E}^2=1+y^2$. Do đó tổng $=(1+y^2)+(1+y^2)+2(1-y^2)=4$. Kiểm tra bằng ví dụ cụ thể: C=(1,5; √3/2), D=(0,5; √3/2) cho E=(1; 1/√3), khi đó AE·AC = (2/√3)·√3 = 2 và BE·BD = 2, tổng bằng 4. Vậy kết quả là 4 (không phụ thuộc vị trí C, D).