Cho phương trình $m{\cos }^{2}x-4\sin x\cos x+m-2=0$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình có đúng một nghiệm thuộc $\left[0;\frac{\pi }{4}\right]$?

Ta có: $m{\cos }^{2}x-4\sin x\cos x+m-2=0⟺m\frac{1+\cos 2x}{2}-2\sin 2x+m-2=0$
$⟺m(1+\cos 2x)-4\sin 2x+2m-4=0⟺m(3+\cos 2x)=4\sin 2x+4$
$⟺m=\frac{4\sin 2x+4}{3+\cos 2x}$.
Với $x\in \left[0;\frac{\pi }{4}\right]⟹2x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]$.
Đặt $f(t)=\frac{4\sin 2x+4}{3+\cos 2x}$. Hàm số đồng biến trên $\left[0;\frac{\pi }{4}\right]$ với $f(0)=1$ và $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{8}{3}$.
Để phương trình có đúng một nghiệm thuộc $\left[0;\frac{\pi }{4}\right]$ thì $1\le m\le \frac{8}{3}$.
Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1;2\}$. Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$. Chọn A.