Cho phương trình $\sqrt{x^2+mx+2}=2x+1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[-10;20]$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt?

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x+1\ge 0\iff x\ge -\frac{1}{2}$. Bình phương hai vế: $x^2+mx+2=4x^2+4x+1\iff 3x^2+(4-m)x-1=0$. Vì tích hai nghiệm $=-\frac{1}{3}<0$ và biệt thức $\Delta =(4-m{)}^2+12>0$ luôn, phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt, một nghiệm dương $x_{+}$ và một nghiệm âm $x_{-}$. Nghiệm dương luôn thỏa $x_{+}\ge -\frac{1}{2}$. Nghiệm âm $x_{-}=\frac{m-4-\sqrt{(4-m{)}^2+12}}{6}$ phải thỏa $x_{-}\ge -\frac{1}{2}$, tức $m-1\ge \sqrt{(4-m{)}^2+12}$, đòi hỏi $m\ge 1$; bình phương: $m^2-2m+1\ge m^2-8m+28\iff 6m\ge 27\iff m\ge \frac{9}{2}$. Vậy cần $m\ge \frac{9}{2}$, tức $m\in \{5,6,\dots ,20\}$: có 16 giá trị nguyên. Kiểm tra $m=5$: $3x^2-x-1=0$, nghiệm âm $\frac{1-\sqrt{13}}{6}\approx -0,434\ge -\frac{1}{2}$ đúng.