Cho tam giác $ABC$. Biết rằng các góc $A$, $B$, $C$ của tam giác đó thỏa mãn hệ thức $\frac{\sin C}{\sin A\cos B}=2$. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ là tam giác cân.

(AI giải đề cho tôi)
Theo đề: $\frac{\sin C}{\sin A\cos B}=2$, tức $\sin C=2\sin A\cos B$.

Vì $A+B+C=180^{\circ }$ nên $C=180^{\circ }-(A+B)$, do đó $\sin C=\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$.

Thay vào hệ thức:
$$\sin A\cos B+\cos A\sin B=2\sin A\cos B$$
$$\Rightarrow \cos A\sin B=\sin A\cos B$$

Chia hai vế cho $\cos A\cos B>0$ (vì $A,B$ nhọn... thực ra $\cos A\cos B\ne 0$ vì nếu $\cos A=0$ thì $A=90^{\circ }$, khi đó $\sin C=2\sin A\cos B=2\cos B\le 2$ nhưng $\sin C=\cos B$ và $\cos B\ne 0$ dẫn đến mâu thuẫn; tương tự với $\cos B=0$):
$$\tan B=\tan A\Rightarrow A=B$$ (vì $0^{\circ }<A,B<180^{\circ }$).

Vậy tam giác $ABC$ cân tại $C$. Đpcm.