Cho tam giác đều $ABC$ cạnh bằng $a$. Gọi $M$, $N$ là các điểm thỏa mãn $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$. Gọi $I$ là điểm thuộc cạnh $AM$ sao cho $4\overrightarrow{IA}=-3\overrightarrow{IM}$.
a) Phân tích vectơ $\overrightarrow{CN},\overrightarrow{CI}$ theo vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$.
b) Tính diện tích của tam giác $IBC$ theo $a$?

(AI giải đề cho tôi)
a) Phân tích $\overrightarrow{CN}$: Ta có $\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$. Vì $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$ nên $\overrightarrow{CN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$.

Phân tích $\overrightarrow{CI}$: Từ $4\overrightarrow{IA}=-3\overrightarrow{IM}$ suy ra $4\overrightarrow{IA}=3\overrightarrow{MI}$, tức $\overrightarrow{IA}=\frac{3}{4}\overrightarrow{MI}$, vậy $I$ nằm giữa $A$ và $M$ với $\frac{AI}{IM}=\frac{3}{4}$, do đó $\overrightarrow{AI}=\frac{3}{7}\overrightarrow{AM}$.

Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Suy ra
$$\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AI}=\left(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right)+\frac{3}{7}\left(-\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\right)=\frac{4}{7}\overrightarrow{BA}-\frac{6}{7}\overrightarrow{BC}.$$

b) Vì $I$ chia đoạn $AM$ theo tỉ số $AI:IM=3:4$, khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $BC$ bằng $\frac{4}{7}$ khoảng cách từ $A$ đến $BC$ (do $M\in BC$), tức $h_I=\frac{4}{7}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2a\sqrt{3}}{7}$.

Diện tích tam giác $IBC$:
$$S_{IBC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot h_I=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{2a\sqrt{3}}{7}=\frac{a^2\sqrt{3}}{7}.$$