Cho tam giác $ABC$ có $AB=c$ , $BC=a$ , $CA=b$. Trung tuyến $CM$ vuông góc với phân giác trong $AD$ và $\frac{CM}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Giá trị của $\cos A$ là $\frac{m}{n}$ với $m;n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ; $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $n^2-2m$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\hat{A}=2\theta$, đặt hệ trục tại $A$ với phân giác $AD$ là trục $Ox$: $B=c(\cos \theta ;\sin \theta )$, $C=b(\cos \theta ;-\sin \theta )$. Trung tuyến $CM$ nên $M$ là trung điểm $AB$: $M=\left(\frac{c\cos \theta }{2};\frac{c\sin \theta }{2}\right)$. Vì $CM\perp AD$ (phương thẳng đứng) nên hoành độ $M$ bằng hoành độ $C$: $\frac{c}{2}=b\Rightarrow c=2b$. Khi đó $CM=2b\sin \theta$. Độ dài phân giác: $AD=\frac{2bc\cos \theta }{b+c}=\frac{4b\cos \theta }{3}$. Tỉ số $\frac{CM}{AD}=\frac{2b\sin \theta }{(4b/3)\cos \theta }=\frac{3}{2}\tan \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \tan \theta =\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \theta =30^{\circ }$. Vậy $\cos A=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, tức $m=1,n=2$, nên $n^2-2m=4-2=2$. (Khớp đáp án nguồn: 2.)