Cho tam giác $ABC$ có hai trung tuyến kẻ từ $A$ và $B$ vuông góc với nhau. Khi đó tỉ số $\frac{AB}{AC+BC}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng ? ( làm tròn đến hàng phần trăm)

Lời giải (nguồn: trang 12):



Vì $AM,BN$ lần lượt là trung tuyến kẻ từ $A$ và $B$ nên ta tính được:

$A{M}^2=\frac{2A{B}^2+2A{C}^2-B{C}^2}{4}$

$B{N}^2=\frac{2A{B}^2+2B{C}^2-A{C}^2}{4}$

Đồng thời hai trung tuyến này vuông góc với nhau nên tam giác $AGN$ vuông tại $G$, do đó:

$A{G}^2+G{N}^2=A{N}^2$

$\iff {\left(\frac{2}{3}AM\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}BN\right)}^2=\frac{A{C}^2}{4}$

$\iff \frac{5}{18}A{B}^2=\frac{1}{18}A{C}^2+\frac{1}{18}B{C}^2$

$\iff 5A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$

Mà $AB,AC,BC$ lần lượt là số đo ba cạnh của tam giác $ABC$ nên $AB,BC,CA>0$,

Suy ra, $AC+BC=\sqrt{(AC+BC{)}^2}\le \sqrt{2(A{C}^2+B{C}^2)}=AB\sqrt{10}$

Hay $\frac{AB}{AC+BC}\ge \frac{1}{\sqrt{10}}\approx 0,32$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\frac{AB}{AC+BC}$ bằng $\frac{1}{\sqrt{10}}\approx 0,32$.