Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$, $M$ là trung điểm của đoạn $BC$, $AD$ là đường phân giác trong của góc $A$. Biết $AB=5,AC=7,\widehat{BAC}=120^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos 120^{\circ }=5\cdot 7\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{35}{2}$ → Đúng. b) Theo tính chất đường phân giác trong: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{7}$, suy ra $\overrightarrow{AD}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{12}\overrightarrow{AC}$, khác với khẳng định $\frac{5}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$ → Sai. c) Trọng tâm $G$: $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ → Đúng. d) $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ → Đúng. Kết quả Đ–S–Đ–Đ khớp bảng đáp án mã đề 0101 dòng 25 (ĐSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\cdot 7\cdot \cos 120^{\circ }=-\frac{35}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{BD}{DC}=\frac{5}{7}$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{12}\overrightarrow{AC}$, không phải $\frac{5}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G$: $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$.