Cho tam giác $ABC$ thoả mãn $\frac{1+\cos B}{\sin B}=\frac{2a+c}{\sqrt{4a^2-c^2}}$. Chứng minh tam giác $ABC$ cân.

Ta có
$$\frac{1+\cos B}{\sin B}=\frac{2a+c}{\sqrt{4a^2-c^2}}\iff \frac{(1+\cos B{)}^2}{{\sin }^{2}B}=\frac{(2a+c{)}^2}{4a^2-c^2}(0,25\text{đ})$$
$$\iff \frac{1+\cos B}{1-\cos B}=\frac{2a+c}{2a-c}\iff \frac{1+\cos B}{1-\cos B}-1=\frac{2a+c}{2a-c}-1(0,25\text{đ})$$
$$\iff 2ac\cdot \cos B=c^2\iff a^2+c^2-b^2=c^2\iff a^2=b^2=b^2\iff a=b(0,25\text{đ})$$
Vậy tam giác $ABC$ cân tại $C$. (0,25đ)
(Ghi chú: nguồn gốc ghi 'a^2=b^2=b^2' — có vẻ là lỗi đánh máy của tài liệu gốc, kỳ vọng 'a^2=b^2'; giữ nguyên theo nguồn.)