Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có $AB=5$. Tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng thỏa mãn hệ thức: $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=25$ là đường tròn có bán kính $R=\frac{a\sqrt{10}}{b}$, với $a$, $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị biểu thức $T=25a+2026b$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Ta có $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}\cdot (\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})=2\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MI}=25$, suy ra $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MI}=\frac{25}{2}$. Dùng đẳng thức $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MI}=\frac{1}{2}(M{A}^2+M{I}^2-A{I}^2)$, với tam giác vuông cân tại $A$, $AB=AC=5$ nên $AI=\frac{BC}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$, $A{I}^2=\frac{25}{2}$. Do đó $M{A}^2+M{I}^2=25+\frac{25}{2}=\frac{75}{2}$. Gọi $G$ là trung điểm $AI$: $M{A}^2+M{I}^2=2M{G}^2+\frac{A{I}^2}{2}=2M{G}^2+\frac{25}{4}$, suy ra $2M{G}^2=\frac{75}{2}-\frac{25}{4}=\frac{125}{4}$, tức $M{G}^2=\frac{125}{8}$. Vậy tập hợp là đường tròn tâm $G$ bán kính $R=\sqrt{\frac{125}{8}}=\frac{5\sqrt{10}}{4}$, nên $a=5$, $b=4$ (nguyên tố cùng nhau). Khi đó $T=25\cdot 5+2026\cdot 4=125+8104=8229$, khớp đáp án nguồn.