Cho tam thức bậc hai $f(x)=-x^2+2x+3$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=-x^2+2x+3$ có $\Delta =2^2-4(-1)(3)=16>0$ nên có hai nghiệm phân biệt $x=-1$ và $x=3$ (a đúng). Vì hệ số $a=-1<0$, $f(x)$ âm ngoài hai nghiệm, dương giữa hai nghiệm, đúng như bảng xét dấu (b đúng). $f(x)>0\iff -1<x<3$, các nghiệm nguyên là $0,1,2$ — đúng 3 nghiệm (c đúng). Với d: $g(x)-f(x)=-x^2+(m+1)x-2m+1$. Yêu cầu $g(x)-f(x)<0\forall x$ tương đương $x^2-(m+1)x+2m-1>0\forall x$, tức $\Delta =(m+1{)}^2-4(2m-1)=m^2-6m+5<0\iff 1<m<5$, cho $m\in \{2,3,4\}$ — chỉ có 3 giá trị nguyên, không phải 5 (d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =16>0$ nên $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt $x=-1,x=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$a=-1<0$, nghiệm $-1$ và $3$: $f(x)$ âm trên $(-\infty ,-1)$ và $(3,+\infty )$, dương trên $(-1,3)$ — khớp bảng xét dấu.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)>0\iff x\in (-1,3)$, nghiệm nguyên: $0,1,2$ — đúng 3 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)-f(x)=-x^2+(m+1)x-2m+1$ âm với mọi $x$ khi $x^2-(m+1)x+2m-1>0\forall x$, tức $m^2-6m+5<0\iff 1<m<5$, cho $m\in \{2,3,4\}$: chỉ 3 giá trị nguyên, không phải 5.