Cho tứ diện $ABCD$ có $I,J$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $BC$, $BD$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $I,J$ và cắt các cạnh $AC,AD$ lần lượt tại hai điểm $M,N$. Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Vì I, J lần lượt là trung điểm BC, BD nên IJ là đường trung bình của tam giác BCD, suy ra IJ ∥ CD và IJ = CD/2 → a) đúng. Mặt khác IJ ∥ CD, CD ⊂ (ACD) mà IJ ⊄ (ACD) nên IJ ∥ (ACD). Mặt phẳng (P) chứa IJ và cắt (ACD) theo giao tuyến MN, do đó MN ∥ IJ ∥ CD. Vậy MN song song với DC, không cắt DC → b) sai. Tứ giác IJNM có IJ ∥ MN (cùng song song CD) và MN ≠ IJ nói chung (MN = k·CD với k = AM/AC ≠ 1/2 nói chung), nên IJNM là hình thang → c) đúng. IJNM là hình bình hành khi và chỉ khi MN = IJ = CD/2, tức AM/AC = AN/AD = 1/2, nghĩa là M là trung điểm của AC (và N là trung điểm của AD) → d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
IJ là đường trung bình của tam giác BCD nên IJ ∥ CD và IJ = ½CD.
b) (AI giải đề cho tôi)
IJ ∥ CD nên IJ ∥ (ACD); (P) chứa IJ cắt (ACD) theo MN nên MN ∥ IJ ∥ CD. Vậy MN song song DC chứ không cắt DC.
c) (AI giải đề cho tôi)
IJNM có IJ ∥ MN (cùng song song CD) và MN ≠ IJ nói chung, nên là hình thang.
d) (AI giải đề cho tôi)
IJNM là hình bình hành ⟺ MN = IJ = ½CD ⟺ AM/AC = AN/AD = ½, tức M là trung điểm của AC.