Cho tứ diện $ABCD$, gọi $M$, $N$ là trung điểm của $BC$, $AD$. Biết $AB=CD=2a$, $MN=a\sqrt{3}$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $BC$ và $N$ là trung điểm $AD$, ta có:
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD},$$
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}.$$
Cộng vế theo vế hai đẳng thức (chú ý $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}=\vec{0}$, $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}$):
$$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC},$$
hay $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)$.

Do đó:
$$M{N}^2=\frac{1}{4}\left(A{B}^2+C{D}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}\right).$$

Gọi $\theta$ là góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$, khi đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}=AB\cdot CD\cdot \cos \theta =4a^2\cos \theta$. Suy ra:
$$3a^2=\frac{1}{4}\left(4a^2+4a^2+2\cdot 4a^2\cos \theta \right)=2a^2+2a^2\cos \theta ,$$
nên $\cos \theta =\frac{1}{2}$.

Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng $60^{\circ }$.