Cho tứ diện $ABCD$ với $M$, $N$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABD$, $ACD$. Chứng minh rằng: $MN//(ABC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là trung điểm của $AD$. Vì $M$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $M$ thuộc trung tuyến $BI$, do đó $\overrightarrow{IM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{IB}$. Tương tự, $N$ là trọng tâm tam giác $ACD$ nên $N$ thuộc trung tuyến $CI$, suy ra $\overrightarrow{IN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{IC}$.

Từ đó: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{IN}-\overrightarrow{IM}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.

Vậy $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$, tức $MN\parallel BC$ và $MN=\frac{1}{3}BC$.

Vì $BC\subset (ABC)$ và $MN\not\subset (ABC)$ (do $M$ không thuộc mặt phẳng $(ABC)$ vì $ABCD$ là tứ diện), nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $MN\parallel (ABC)$. Đpcm.