Chứng minh biểu thức $D={\cos }^{2}x.{\cot }^{2}x+3{\cos }^{2}x-{\cot }^{2}x+2{\sin }^{2}x$ không phụ thuộc $x$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $D={\cos }^{2}x\cdot {\cot }^{2}x+3{\cos }^{2}x-{\cot }^{2}x+2{\sin }^{2}x$ (với $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ để $\cot x$ xác định).

Nhóm các số hạng chứa ${\cot }^{2}x$:
$$D={\cot }^{2}x({\cos }^{2}x-1)+3{\cos }^{2}x+2{\sin }^{2}x$$

Vì ${\cos }^{2}x-1=-{\sin }^{2}x$ nên:
$$D=-{\sin }^{2}x\cdot {\cot }^{2}x+3{\cos }^{2}x+2{\sin }^{2}x$$

Mà ${\sin }^{2}x\cdot {\cot }^{2}x={\sin }^{2}x\cdot \frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}={\cos }^{2}x$, do đó:
$$D=-{\cos }^{2}x+3{\cos }^{2}x+2{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x+2{\sin }^{2}x=2({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)=2$$

Vậy $D=2$ là hằng số, tức biểu thức $D$ không phụ thuộc vào $x$.