CMR biểu thức $A={\cos }^{2}x+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{3}+x\right)+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{3}-x\right)$ không phụ thuộc $x$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\cos }^{2}t=\frac{1+\cos 2t}{2}$, nên:
$$A=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\left[\cos 2x+\cos \left(\frac{2\pi }{3}+2x\right)+\cos \left(\frac{2\pi }{3}-2x\right)\right].$$
Áp dụng công thức tổng hai cosin:
$$\cos \left(\frac{2\pi }{3}+2x\right)+\cos \left(\frac{2\pi }{3}-2x\right)=2\cos \frac{2\pi }{3}\cos 2x=2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cos 2x=-\cos 2x.$$
Do đó:
$$A=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\left(\cos 2x-\cos 2x\right)=\frac{3}{2}.$$
Vậy $A=\frac{3}{2}$ là hằng số, tức biểu thức $A$ không phụ thuộc $x$. (Kiểm tra: với $x=0$, $A=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}$; với $x=\frac{\pi }{6}$, $A=\frac{3}{4}+1+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$.)