Chứng minh rằng phương trình $\left(1-m^2\right)x^5-3x-1=0$ luôn có nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=(1-m^2)x^5-3x-1$, hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ với mọi $m$.

Trường hợp 1: $m=\pm 1$ (tức $1-m^2=0$). Khi đó phương trình trở thành $-3x-1=0\iff x=-\frac{1}{3}$, nên phương trình có nghiệm.

Trường hợp 2: $m\ne \pm 1$, khi đó $a=1-m^2\ne 0$ và $f$ là đa thức bậc 5 (bậc lẻ) với hệ số dẫn $a$.
- Nếu $a>0$: ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$.
- Nếu $a<0$: ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-\infty$.

Trong cả hai trường hợp, do $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và các giới hạn trái dấu, theo định lý giá trị trung gian (hệ quả về nghiệm của đa thức bậc lẻ), tồn tại $x_0\in \mathbb{R}$ sao cho $f(x_0)=0$.

Vậy với mọi $m$, phương trình $(1-m^2)x^5-3x-1=0$ luôn có nghiệm.