Chứng minh rằng phương trình: $\left(m^2+m+1\right)x^4+2x-2=0$ luôn có nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\left(m^2+m+1\right)x^4+2x-2$ với $m$ bất kỳ. Ta có $m^2+m+1={\left(m+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$ với mọi $m$, nên $f$ là hàm đa thức (liên tục trên $\mathbb{R}$). Tính: $f(0)=-2<0$ và $f(1)=m^2+m+1+2-2=m^2+m+1>0$. Vì $f(0)\cdot f(1)<0$ và $f$ liên tục trên $[0;1]$, theo định lý giá trị trung gian (định lý Bolzano), tồn tại $x_0\in (0;1)$ sao cho $f(x_0)=0$. Vậy phương trình $\left(m^2+m+1\right)x^4+2x-2=0$ luôn có nghiệm với mọi $m$.