Chứng minh rằng phương trình $\left(m^2+1\right)x^3-2m^2{x}^2-4x+m^2+1=0$ luôn có 3 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $a=m^2+1$, vì $m^2\ge 0$ nên $a\ge 1$. Phương trình trở thành $$f(x)=a{x}^3-2(a-1)x^2-4x+a=0$$ với hệ số $a>0$, nên ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$. Ta xét dấu $f$ tại một số điểm:
- $f(0)=a>0$.
- $f(1)=a-2(a-1)-4+a=-2<0$ (luôn âm với mọi $m$).
- $f(2)=8a-8(a-1)-8+a=a>0$.

Suy ra:
1) Trên $(-\infty ;0)$: vì $f(x)\to -\infty$ khi $x\to -\infty$ và $f(0)>0$, theo định lý giá trị trung gian (hàm đa thức liên tục) tồn tại $x_1\in (-\infty ;0)$ để $f(x_1)=0$.
2) Trên $(0;1)$: $f(0)>0$, $f(1)<0$ nên tồn tại $x_2\in (0;1)$ để $f(x_2)=0$.
3) Trên $(1;2)$: $f(1)<0$, $f(2)>0$ nên tồn tại $x_3\in (1;2)$ để $f(x_3)=0$.

Ba khoảng $(-\infty ;0)$, $(0;1)$, $(1;2)$ đôi một rời nhau nên $x_1,x_2,x_3$ phân biệt. Vậy với mọi $m$, phương trình $\left(m^2+1\right)x^3-2m^2{x}^2-4x+m^2+1=0$ luôn có 3 nghiệm thực phân biệt. $■$