Chướng ngại vật “tường cong” trong một sân thi đấu thể thao là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3 m. Bề mặt tiếp xúc với mặt đất là một hình chữ nhật, giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng $AB=2$ m. Thiết diện của tường cong khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $AB$ tại $A$ là một tam giác cong $ACE$ vuông tại $C$ với $AC=4$ m, $CE=3$ m, cạnh cong $AE$ nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí $M$ là trung điểm $AC$ thì đường cong có độ cao 1 m (xem hình vẽ sau).

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $(P)$ có trục đối xứng vuông góc với mặt đất nên có dạng $y=a{x}^2+bx+c$. Qua $(0;0)$ nên $c=0$; qua $(2;1)$: $4a+2b=1$; qua $(4;3)$: $16a+4b=3$. Suy ra $a=\frac{1}{8},b=\frac{1}{4}$, tức $y=\frac{x^2}{8}+\frac{x}{4}$ → a) đúng.
Diện tích tam giác cong $ACE$ (nằm dưới cung $AE$, trên $AC$, bên trái $CE$): $S={\int }_0^4\left(\frac{x^2}{8}+\frac{x}{4}\right)dx=\frac{64}{24}+\frac{16}{8}=\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3}{m}^2$ → b) đúng.
Thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ tại hoành độ $x$ là hình chữ nhật có chiều rộng $AB=2$ m và chiều cao bằng độ cao đường cong $y=\frac{x^2}{8}+\frac{x}{4}$, nên $S(x)=2\left(\frac{x^2}{8}+\frac{x}{4}\right)=\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}=\frac{x(x+2)}{4}$, không phải $\frac{1}{2}x(x+2)$ → c) sai.
Thể tích: $V={\int }_0^4\left(\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}\right)dx=\frac{64}{12}+\frac{16}{4}=\frac{16}{3}+4=\frac{28}{3}\approx 9,33>9m^3$ → d) đúng. Khớp đáp án chính thức ĐĐSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Parabol $y=a{x}^2+bx+c$ qua $(0;0),(2;1),(4;3)$ cho $a=\frac{1}{8},b=\frac{1}{4},c=0$, tức $(P)$ đi qua ba điểm đã nêu.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_0^4\left(\frac{x^2}{8}+\frac{x}{4}\right)dx=\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3}{m}^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thiết diện hình chữ nhật có diện tích $S(x)=2y=\frac{x(x+2)}{4}$, không phải $\frac{1}{2}x(x+2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V={\int }_0^4\frac{x(x+2)}{4}dx=\frac{28}{3}\approx 9,33>9m^3$.