Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+y-z-3=0$ và hai điểm $M(1;1;1)$, $N(-3;-3;-3)$. Mặt cầu $(S)$ đi qua $M,N$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ tại điểm $Q$. Biết rằng $Q$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I(a;b;c)$ là tâm mặt cầu. Vì $IM=IN$ nên $I$ thuộc mặt phẳng trung trực của $MN$: $a+b+c=-3$. Gọi $Q$ là tiếp điểm, $Q$ là hình chiếu của $I$ lên $(P)$: $Q=I-\frac{a+b-c-3}{3}(1;1;-1)$. Đặt $c$ làm tham số, với $a+b=-3-c$ và điều kiện $I{M}^2=I{Q}^2$ cho $a^2+b^2=\frac{c^2+24c+9}{3}$. Suy ra tọa độ $Q$: $Q_x+Q_y=\frac{c+3}{3}$, $Q_z=\frac{c-6}{3}$, và $(Q_x-Q_y{)}^2=\frac{-c^2+30c-9}{3}$. Đặt $w=Q_x+Q_y$ thì $c=3w-3$, $Q_z=w-3$, và $Q_x^2+Q_y^2=-w^2+18w-18$. Do đó $Q_x^2+Q_y^2+Q_z^2=12Q_z+27$, tức $Q$ thuộc mặt cầu tâm $(0;0;6)$ bán kính $\sqrt{63}$. Kết hợp với mặt phẳng $(P)$, $Q$ thuộc đường tròn giao. Khoảng cách từ $(0;0;6)$ đến $(P)$: $d=\frac{|0+0-6-3|}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$. Bán kính đường tròn: $r=\sqrt{63-27}=\sqrt{36}=6$. Khớp với đáp án nguồn 6.