Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x;y)$ thoả mãn $5^{y+1}+y-{\log }_5(x+2)\le \frac{x-8}{5}$ và $x<2023$?

Bất phương trình tương đương: $5^{y+2}+5(y+2)\le (x+2)+5{\log }_5(x+2)$. Đặt $t={\log }_5(x+2)\Rightarrow x+2=5^t$, ta được $5^{y+2}+5(y+2)\le 5^t+5t\iff y+2\le t={\log }_5(x+2)$. Do $x<2023\Rightarrow y+2<{\log }_{5}2025\approx 4.73\Rightarrow y\le 2$. Vì $y$ nguyên dương nên $y\in \{1;2\}$. Với $y=1\Rightarrow {\log }_5(x+2)\ge 3\iff x\ge 123$, suy ra $x\in \{123;124;\dots ;2022\}$ có 1900 giá trị. Với $y=2\Rightarrow {\log }_5(x+2)\ge 4\iff x\ge 623$, suy ra $x\in \{623;624;\dots ;2022\}$ có 1400 giá trị. Tổng cộng có $1900+1400=3300$ cặp số nguyên dương thỏa mãn. Chọn C.