Có bao nhiêu giá trị dương của số thực $a$ sao cho phương trình $z^2+\sqrt{3}z+a^2-2a=0$ có nghiệm phức $z_0$ thỏa $|z_0|=\sqrt{3}$?

Phương trình $z^2+\sqrt{3}z+a^2-2a=0$ có $\Delta =3-4(a^2-2a)=-4a^2+8a+3$.

- Trường hợp 1: $\Delta \ge 0\iff \frac{2-\sqrt{7}}{2}\le a\le \frac{2+\sqrt{7}}{2}$. Khi đó $z_0\in \mathbb{R}$ nên $|z_0|=\sqrt{3}\iff z_0=\pm \sqrt{3}$.
+ Với $z_0=-\sqrt{3}$: thay vào phương trình được $3-3+a^2-2a=0\iff a=0$ hoặc $a=2$. Vì $a>0$ và thỏa điều kiện $\Delta \ge 0$ nên nhận $a=2$.
+ Với $z_0=\sqrt{3}$: thay vào phương trình được $a^2-2a+6=0$ (vô nghiệm).

- Trường hợp 2: $\Delta <0\iff a<\frac{2-\sqrt{7}}{2}$ hoặc $a>\frac{2+\sqrt{7}}{2}$. Khi đó phương trình có hai nghiệm phức liên hợp $z_0,{\bar{z}}_0$ nên $|z_0{|}^2=z_0{\bar{z}}_0=a^2-2a$. Theo giả thiết $a^2-2a=3\iff a=-1$ hoặc $a=3$. Kết hợp $a>0$ và $\Delta <0$ ta nhận $a=3$.

Vậy có $2$ giá trị dương của $a$ thỏa mãn là $a=2$ và $a=3$.