Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn bất phương trình $[{\log }_3^2(x-1)-2{\log }_3(x-1)-3]\sqrt{100-x^2}\le 0$?

Điều kiện xác định: $x-1>0$ và $100-x^2\ge 0\iff 1<x\le 10$.
- Nếu $\sqrt{100-x^2}=0\iff x=10$: Bất phương trình thỏa mãn, vậy $x=10$ là một nghiệm nguyên.
- Nếu $1<x<10$: Khi đó $\sqrt{100-x^2}>0$, bất phương trình trở thành:
${\log }_3^2(x-1)-2{\log }_3(x-1)-3\le 0\iff -1\le {\log }_3(x-1)\le 3\iff 3^{-1}\le x-1\le 3^3\iff \frac{4}{3}\le x\le 28$.
Kết hợp với điều kiện $1<x<10$, ta được $\frac{4}{3}\le x<10$. Vì $x$ nguyên nên $x\in \{2,3,4,5,6,7,8,9\}$ (8 giá trị).
Kết hợp nghiệm $x=10$, tổng cộng có $8+1=9$ số nguyên $x$ thỏa mãn. Chọn đáp án C.