Có bao nhiêu số nguyên $y\in [-2022;2022]$ để bất phương trình $(5x{)}^{y+\frac{11}{{\log }_{5}x}}\ge 5^{10+{\log }_{5}x}$ có nghiệm đúng với mọi số thực $x\in (1;25)$?

Lấy logarit cơ số 5 hai vế bất phương trình: $(y+\frac{11}{{\log }_{5}x}){\log }_5(5x)\ge 10+{\log }_{5}x$. Đặt $t={\log }_{5}x$, vì $x\in (1;25)$ nên $t\in (0;2)$. Bất phương trình trở thành $(y+\frac{11}{t})(1+t)\ge 10+t\iff y\ge \frac{10+t}{1+t}-\frac{11}{t}=1+\frac{9}{1+t}-\frac{11}{t}$. Khảo sát hàm số trên $(0;2)$ để tìm giá trị lớn nhất, ta suy ra điều kiện cho số nguyên $y\in [-2022;2022]$ thỏa mãn là $y\ge 1$, tổng cộng có $2022-1+1=2022$ giá trị nguyên của $y$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 7), chọn A.