Có hai học sinh lớp $A$, ba học sinh lớp $B$ và bốn học sinh lớp $C$ xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp $A$ không có học sinh nào lớp $B$. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy ?

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C trước: có $3!\cdot 4!=144$ cách (hoặc xét 35 cách chọn vị trí lớp rồi nhân nhãn). Mỗi cách tạo ra 8 khoảng trống (gồm 2 đầu hàng). Đặt 2 học sinh lớp A vào các khoảng sao cho giữa chúng không có học sinh lớp B:
- Cả hai A cùng một khoảng: 8 cách (thứ tự 2 A đã tính trong $2!$).
- Hai A ở hai khoảng khác nhau $i<j$: giữa chúng chỉ toàn C, tức ứng với một run C liên tiếp độ dài $L$ có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{L+1}{2}\right)$ cách chọn cặp khoảng.
Tổng số cặp khoảng hợp lệ (cùng khoảng + khác khoảng) trên tất cả 35 cấu hình lớp B/C là $35\cdot 8+224=504$ (trong đó 224 tính từ tổng $\sum \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{L+1}{2}\right)$ theo các phân tích 4 C thành các run giữa 3 B).
Vậy tổng cách xếp: $504\cdot 3!\cdot 4!\cdot 2!=504\cdot 144\cdot 2=145152$.
Kiểm tra: kết quả nhỏ hơn $9!=362880$, thỏa mãn, và trùng với đáp án nguồn 145152.