Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $M(2;4)$ và đường thẳng $d:2x+6y+3=0$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$ và vuông góc với $d$ có phương trình $ax+by-2=0$, $(a,b\in \mathbb{R})$. Tính giá trị biểu thức $a^2+b^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Δ vuông góc với d nên vectơ pháp tuyến của Δ song song với vectơ chỉ phương của d: ${\vec{n}}_{\Delta }=k(6;-2)$. Vì Δ qua $M(2;4)$: $2a+4b-2=0\Rightarrow a+2b=1$. Thay $a=6k,b=-2k$: $6k-4k=1\Rightarrow k=\frac{1}{2}$, suy ra $a=3,b=-1$. Kiểm tra: $3\cdot 2+(-1)\cdot 4-2=0$ ✓ và $3\cdot 6+(-1)\cdot 6=12\ne 0$... thực ra kiểm tra vuông góc: ${\vec{n}}_{\Delta }(3;-1)\cdot {\vec{n}}_d(2;6)=6-6=0$ ✓. Vậy $a^2+b^2=9+1=10$, khớp đáp án nguồn.