Có hai tàu điện ngầm A và B chạy trong thành phố X, cùng một thời điểm xuất phát từ hai ga khác nhau và chuyển động đều trên hai tuyến đường thẳng. Trên màn hình rada của trạm điều khiển (có hệ trục tọa độ Oxy, đơn vị độ dài trên mỗi trục tính theo kilomet), sau khi xuất phát $t$ giờ $(t\ge 0)$, tàu A ở vị trí có tọa độ xác định theo công thức $$\{\begin{array}{l}x=7+36t\\ y=-8+8t\end{array}$$ và tàu B ở vị trí có tọa độ $(9+8t;5-36t)$. Biết rằng hai tuyến đường trên của tàu A và B cùng kết thúc ở một ga E. Hỏi tàu nào đến ga E trước? Tại sao?

(AI giải đề cho tôi)
Tàu A xuất phát từ $A_0(7;-8)$ với vectơ chỉ phương $(36;8)$; tàu B xuất phát từ $B_0(9;5)$ với vectơ $(8;-36)$. Vì hai tuyến cùng kết thúc ở ga E nên E là giao điểm của hai đường thẳng. Gọi $t_A$ là thời điểm tàu A đến E, $t_B$ là thời điểm tàu B đến E, khi đó tọa độ E tính theo hai cách phải trùng nhau: $$7+36t_A=9+8t_B,-8+8t_A=5-36t_B.$$ Hệ: $36t_A-8t_B=2$ và $8t_A+36t_B=13$. Nhân phương trình đầu với 9 rồi cộng với phương trình hai (sau khi nhân 2): từ $36t_A-8t_B=2\Rightarrow 162t_A-36t_B=9$; cộng $8t_A+36t_B=13$ được $170t_A=22\Rightarrow t_A=\frac{11}{85}$ giờ $\approx 7,76$ phút. Suy ra $t_B=\frac{18t_A-1}{4}=\frac{113}{340}$ giờ $\approx 19,94$ phút. Kiểm tra: tọa độ E theo A là $\left(7+36\cdot \frac{11}{85};-8+8\cdot \frac{11}{85}\right)=\left(\frac{991}{85};\frac{-592}{85}\right)$; theo B là $\left(9+8\cdot \frac{113}{340};5-36\cdot \frac{113}{340}\right)=\left(\frac{991}{85};\frac{-592}{85}\right)$ — khớp, và cả $t_A,t_B>0$ đều hợp lệ. Hai tàu có cùng tốc độ $v=\sqrt{36^2+8^2}=\sqrt{1360}$ km/h, nhưng quãng đường của A ngắn hơn: $|A_{0}E|=\frac{11}{85}\sqrt{1360}\approx 4,77$ km < $|B_{0}E|=\frac{113}{340}\sqrt{1360}\approx 12,26$ km. Vậy tàu A đến ga E trước vì $t_A=\frac{11}{85}$ giờ $<t_B=\frac{113}{340}$ giờ.