Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{2}{3}{x}^3-m{x}^2-2(3m^2-1)x+\frac{2}{3}$ có hai điểm cực trị có hoành độ $x_1,x_2$ sao cho $x_1{x}_2+2(x_1+x_2)=1$?

Ta có: $y^{\prime }=2x^2-2mx-2(3m^2-1)=2[x^2-mx-(3m^2-1)]$.
Đặt $g(x)=x^2-mx-3m^2+1$.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt:
$\Delta =(-m{)}^2-4(1)(-3m^2+1)=m^2+12m^2-4=13m^2-4>0⟺m^2>\frac{4}{13}(\ast )$.
Theo định lý Vi-ét cho phương trình $g(x)=0$:
$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m\\ x_1{x}_2=-3m^2+1\end{array}$.
Theo giả thiết:
$x_1{x}_2+2(x_1+x_2)=1⟺(-3m^2+1)+2m=1⟺-3m^2+2m=0⟺m(2-3m)=0⟺[\begin{array}{l}m=0\\ m=\frac{2}{3}\end{array}$.
Kiểm tra điều kiện $(\ast )$:
- Với $m=0$: $m^2=0<\frac{4}{13}$ (loại).
- Với $m=\frac{2}{3}$: $m^2=\frac{4}{9}$. Vì $\frac{4}{9}>\frac{4}{13}$ nên thỏa mãn điều kiện $(\ast )$.
Vậy chỉ có đúng 1 giá trị thực của $m$ thỏa mãn là $m=\frac{2}{3}$.