Đặt $a={\log }_{2}3$ và $b={\log }_{5}3$. Hãy biểu diễn ${\log }_{6}45$ theo $a$ và $b$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $a={\log }_{2}3$, $b={\log }_{5}3$. Ta có ${\log }_{3}2=\frac{1}{a}$ và ${\log }_{3}5=\frac{1}{b}$. Khi đó:
$${\log }_{6}45=\frac{{\log }_{3}45}{{\log }_{3}6}=\frac{{\log }_{3}9+{\log }_{3}5}{{\log }_{3}2+{\log }_{3}3}=\frac{2+\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}+1}=\frac{\frac{2b+1}{b}}{\frac{a+1}{a}}=\frac{a(2B+1)}{b(a+1)}=\frac{a+2ab}{ab+b}.$$
Kiểm tra số: $a\approx 1.585$, $b\approx 0.6826$, biểu thức $\approx 2.1245$ và ${\log }_{6}45=\frac{\ln 45}{\ln 6}\approx 2.1245$ — khớp. Vậy đáp án A.