Giải phương trình lượng giác: $2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}=0$ .

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}=0$.

Ta có $2\cos \frac{x}{2}=-\sqrt{3}\iff \cos \frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Do $\cos \frac{5\pi }{6}=\cos \left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)=-\cos \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên:
$$\cos \frac{x}{2}=\cos \frac{5\pi }{6}\iff \frac{x}{2}=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

Suy ra $x=\pm \frac{5\pi }{3}+k4\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\pm \frac{5\pi }{3}+k4\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Kiểm tra: với $x=\frac{5\pi }{3}$ thì $\cos \frac{x}{2}=\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, khi đó $2\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\sqrt{3}=0$ — thỏa mãn.