Hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ thỏa mãn $f(x)=3x+1-\frac{2}{x}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm tổng quát: $\int f(x)dx=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$.

a) Với $F(3)=15$: $\frac{27}{2}+3-2\ln 3+C=15\Rightarrow C=\frac{15}{2}+2\ln 3$, nên $F(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+\frac{15}{2}+2\ln 3\ne \frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+15$. Sai.

b) Vì $G$ là nguyên hàm trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ nên hằng số có thể khác nhau trên hai khoảng $(0;+\infty )$ và $(-\infty ;0)$: $G(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C_1$ với $x>0$, $G(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C_2$ với $x<0$.
Trên $(0;+\infty )$: $G(2)=8-2\ln 2+C_1=1\Rightarrow C_1=-7+2\ln 2$, suy ra $G(5)=\frac{71}{2}+2\ln 2-2\ln 5$.
Trên $(-\infty ;0)$: $G(-5)=\frac{65}{2}-2\ln 5+C_2$. Từ $G(5)+G(-5)=10$: $68+2\ln 2-4\ln 5+C_2=10\Rightarrow C_2=-58-2\ln 2+4\ln 5$.
Khi đó $G(-10)=150-10-2\ln 10+C_2=82-4\ln 2+2\ln 5$, tức $a=-4,b=2,c=82$, nên $a+b+c=80$. Đúng.

c) ${\int }_1^{2}f(x)dx=\left(\frac{3\cdot 4}{2}+2-2\ln 2\right)-\left(\frac{3}{2}+1\right)=8-2\ln 2-\frac{5}{2}=\frac{11}{2}-2\ln 2$. Đúng.

d) $\int f(x)dx=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$, không phải $3+x-2\ln |x|+C$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $F(3)=15$ suy ra $C=\frac{15}{2}+2\ln 3$, không phải $C=15$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Do nguyên hàm có hằng số khác nhau trên $(0;+\infty )$ và $(-\infty ;0)$: $C_1=-7+2\ln 2$, $C_2=-58-2\ln 2+4\ln 5$, suy ra $G(-10)=82-4\ln 2+2\ln 5$, nên $a+b+c=-4+2+82=80$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^{2}f(x)dx=\frac{11}{2}-2\ln 2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$.