Hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$ có $AB=a$, $AC=2a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=2a$. Gọi $\phi$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng $(SAC),(SBC)$. Tính $\cos \phi =$ ?

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông tại B: $BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$. Đặt hệ tọa độ: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a\sqrt{3},0)$, $S(0,0,2a)$.
- Mặt phẳng $(SAC)$: $\overrightarrow{AC}=(a,a\sqrt{3},0)$, $\overrightarrow{AS}=(0,0,2a)$, pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AS}\propto (\sqrt{3},-1,0)$.
- Mặt phẳng $(SBC)$: $\overrightarrow{SB}=(a,0,-2a)$, $\overrightarrow{SC}=(a,a\sqrt{3},-2a)$, pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SC}\propto (2,0,1)$.
Khi đó $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{2\sqrt{3}}{2\cdot \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$.
Kiểm tra lại bằng cách tính góc nhị diện theo cạnh $SC$ (lấy hai vectơ vuông góc với $SC$ trong từng mặt phẳng) cũng cho $\cos \phi =\frac{3/2}{\sqrt{15}/2}=\frac{\sqrt{15}}{5}$. Vậy đáp án C.