Hình vẽ bên dưới mô phỏng trạm thu phát sóng điện thoại di động đặt ở vị trí $I$ có tọa độ $\left(-2;1\right)$ trong mặt phẳng tọa độ (đơn vị trên hai trục là ki-lô-mét).

Tính theo đường chim bay, để một người ở vị trí có tọa độ $\left(-3;4\right)$ di chuyển được tới vùng phủ sóng với quãng đường ngắn nhất thì người đó phải di chuyển đến điểm $A$ có tọa độ $\left(a;b\right)$. Biết bán kính phủ sóng của trạm thu phát trên là 3 km. Tính giá trị của biểu thức $T=3a+b$.

(AI giải đề cho tôi)
Vùng phủ sóng: đường tròn tâm $I(-2;1)$, bán kính $R=3$. Người ở $M(-3;4)$, với $MI=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}>3$ nên $M$ ngoài đường tròn. Điểm vào vùng phủ sóng gần $M$ nhất là giao điểm $A$ của đoạn $MI$ với đường tròn. Vectơ đơn vị theo hướng từ $I$ đến $M$: $\overrightarrow{IM}=(-1;3)$, $|\overrightarrow{IM}|=\sqrt{10}$. Suy ra $\overrightarrow{IA}=\frac{3}{\sqrt{10}}\cdot \frac{(-1;3)}{\sqrt{10}}=\left(-\frac{3}{10};\frac{9}{10}\right)$. Vậy $a=-2-\frac{3}{10}=-2,3$, $b=1+\frac{9}{10}=1,9$. Kiểm tra: $A$ nằm trên đường tròn vì ${\left(-\frac{3}{10}\right)}^2+{\left(\frac{9}{10}\right)}^2=\frac{90}{100}=\frac{9}{10}$... thực tế $(a+2{)}^2+(b-1{)}^2=\frac{9}{100}+\frac{81}{100}=\frac{90}{100}$ — cần đúng bằng $9$: $(a+2{)}^2+(b-1{)}^2={\left(-\frac{3}{10}\right)}^2+{\left(\frac{9}{10}\right)}^2=\frac{9+81}{100}=\frac{90}{100}=0,9$? Tính lại: $\frac{9}{100}+\frac{81}{100}=\frac{90}{100}=\frac{9}{10}$ — sai? Không: ${\left(-\frac{3}{10}\right)}^2=\frac{9}{100}$, ${\left(\frac{9}{10}\right)}^2=\frac{81}{100}$, tổng $=\frac{90}{100}=\frac{9}{10}$. Nhưng bán kính bình phương phải là $9$. Kiểm tra lại: $\overrightarrow{IA}=\frac{R}{|IM|}\overrightarrow{I{M}_{unit}}$ với $\overrightarrow{I{M}_{unit}}=\frac{(-1;3)}{\sqrt{10}}$, nên $\overrightarrow{IA}=\frac{3}{\sqrt{10}}\cdot \frac{(-1;3)}{\sqrt{10}}=\frac{3(-1;3)}{10}=\left(-\frac{3}{10};\frac{9}{10}\right)$, độ dài $=\frac{3\sqrt{10}}{10}=\frac{3}{\sqrt{10}}\approx 0,949\ne 3$. Lỗi: hệ số đúng phải là $\frac{R}{|IM|}=\frac{3}{\sqrt{10}}$ nhân với vectơ $\overrightarrow{IM}=(-1;3)$ (không chuẩn hóa): $\overrightarrow{IA}=\frac{3}{\sqrt{10}}(-1;3)=\left(-\frac{3}{\sqrt{10}};\frac{9}{\sqrt{10}}\right)$. Khi đó $a=-2-\frac{3}{\sqrt{10}}\approx -2,949$, $b=1+\frac{9}{\sqrt{10}}\approx 3,849$, và $T=3a+b=-6-\frac{9}{\sqrt{10}}+1+\frac{9}{\sqrt{10}}=-5$. Vậy $T=-5$ (các số $\pm \frac{9}{\sqrt{10}}$ triệt tiêu), khớp đáp án nguồn -5.