Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1;2;3)$ và cắt các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ tại các điểm $A,B,C$ sao cho $T=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất có dạng $x+ay+bz+c=0$. Giá trị của $A=a+b+c$ là

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz tại A,B,C nên có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ với $OA=a,OB=b,OC=c>0$. Vì $(P)$ qua $M(1;2;3)$: $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1$. Theo BĐT Cauchy–Schwarz: ${\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\right)}^2\le \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)(1+4+9)=14T$, nên $T\ge \frac{1}{14}$. Dấu bằng khi $\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}=1:2:3$, tức $\frac{1}{a}=k,\frac{1}{b}=2k,\frac{1}{c}=3k$. Khi đó $k+4k+9k=14k=1\Rightarrow k=\frac{1}{14}$. Vậy $(P):\frac{x}{14}+\frac{2y}{14}+\frac{3z}{14}=1\iff x+2y+3z-14=0$, tức $a=2,b=3,c=-14$. Do đó $A=a+b+c=2+3-14=-9$. Chọn C.