Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông $ABCD$ cạnh bằng 2 (m) được lát gạch màu trắng và trang trí bởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ trục tọa độ $Oxy$ với $O$ là tâm hình vuông sao cho $A(1;1)$ thì hai đường cong nối từ $O$ đến $A$ của cánh hình màu sẫm là một phần của đồ thị hàm số $y=x^2$ và $y=a{x}^3+bx$ (tham khảo hình vẽ). Giá trị của tích $a\cdot b$ bằng bao nhiêu, biết rằng diện tích phần màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn?