Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;0;0)$, $B(0;3;1)$, $C(-3;6;4)$, điểm $M$ thuộc đoạn $BC$ sao cho $MC=2MB$. Độ dài đoạn $AM$ bằng

Cho hai hàm số bậc ba $f(x)=3x^3+a{x}^2+bx+c$ và $g(x)=\frac{1}{3}{x}^3+m{x}^2+nx+p$. Hàm số $y=f(x).g(x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Biết rằng $x=0$ là điểm cực đại của hàm số $y=g(x)$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0;3]$ bằng

Một thùng chứa rượu làm bằng gỗ là một hình tròn xoay như hình bên có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy bằng 8 dm. Đường cong mặt bên của thùng là một phần của đường Elip có độ dài trục lớn bằng $10\left(\mathrm{dm}\right)$, độ dài trục bé bằng $6\left(\mathrm{dm}\right)$ (tham khảo hình vẽ bên). Hỏi chiếc thùng gỗ đó đựng được bao nhiêu lít rượu?

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $a$, $A{A}^{\prime }=2a$, $\widehat{A^{\prime }AB}=\widehat{A^{\prime }AC}=60^{\circ }$. Gọi $M$ là điểm di động trên mặt phẳng $(ABC)$ sao cho $AM$ vuông góc với $B{B}^{\prime }$. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $B^{\prime }M$ là

Trong không gian $Oxyz$ với đơn vị trên mỗi trục là mét, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A\left(-2;1;5\right)$ và chuyển động đều theo đường cáp cùng hướng với $\vec{u}=\left(0;-2;6\right)$ với tốc độ là 4 (m/s). Giả sử sau 5 giây kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm $M\left(a;b;c\right)$. Giá trị của tổng $a+2b+c$ bằng

Với mỗi số nguyên dương $n$, lấy $n+6$ điểm cách đều nhau trên đường tròn. Nối mỗi điểm với các điểm cách nó hai điểm trên đường tròn để tạo ra các ngôi sao như hình vẽ dưới đây. Số đo (đơn vị độ) của góc ở đỉnh của ngôi sao khi $n=94$ bằng

Cho hàm số bậc ba $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị cắt trục $Ox$ tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng $-1;1;3$ (như hình vẽ).

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\frac{f(x+2)}{f(x-2)}\le 0$ là

Cho các giới hạn: $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=2$ ; $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=-3$. Giá trị $\underset{x\to x_0}{\lim }\left[2f(x)-4g(x)\right]$ bằng

Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

Cho số thực $x$ thoả mãn $4^x+4^{-x}=62$. Giá trị biểu thức $P={\log }_2\left(2^x+2^{-x}\right)$ là

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho $A(4;1;5),B(3;2;1),C(-3;4;2)$. Điểm $M(a;b;0)$ sao cho $S=M{A}^2+M{B}^2-M{C}^2$ nhỏ nhất. Giá trị của $3a+b$ bằng

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{3}$ và mặt phẳng $(P):\left(m^2+1\right)x+(2m-1)y-z-m^2+m-3=0$. Có bao nhiêu số thực $m$ để đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(P)$?

Một ô tô bắt đầu chuyển động thẳng đều với vận tốc $v_0$, sau 6 giây thì gặp chướng ngại vật nên ô tô đi chậm dần với vận tốc $v(t)=-\frac{5}{2}t+a$ (m/s), $(t\ge 6)$ cho đến khi dừng hẳn. Biết rằng kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc dừng hẳn thì ô tô đi được quãng đường là 80 (m). Giá trị của $v_0$ bằng

Biết $$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^2\frac{x}{4}{\cos }^2\frac{x}{4}dx=\frac{\pi }{c}-\frac{a}{b}$$ với $a;b;c$ là các số nguyên dương và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Khi đó giá trị của $P=a+b+c$ là

Chọn ngẫu nhiên 3 số tự nhiên từ tập hợp $S=\left\{9;10;11;...;24\right\}$. Xác suất để tổng bình phương của 3 số được chọn chia hết cho 4 là

Ở một số vùng quê xưa ở Việt Nam, trước mỗi nhà thường có một khoảng sân rộng để phơi lúa vào mùa gặt và cũng là nơi để tổ chức một số sự kiện gia đình. Nhà ông M dự định xây một sân trước cửa nhà hình chữ nhật $ABCD$ có độ dài các cạnh lần lượt là $AB=5\left(\text{m}\right)$ và $AD=12\left(\text{m}\right)$. Để thuận lợi cho việc thoát nước khi trời mưa và khi rửa sân nền ông M xây vị trí $B$ thấp hơn vị trí $A$ là $5\left(\text{cm}\right)$, vị trí $D$ thấp hơn vị trí $A$ là $8\left(\text{cm}\right)$ (tham khảo hình vẽ). Hỏi vị trí $C$ thấp hơn vị trí $A$ là bao nhiêu centimét?

Cho ba số $a+{\log }_{2}3,a+{\log }_{4}3,a+{\log }_{8}3$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Công bội của cấp số nhân đó bằng

Gọi $m,M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{2}x-\sqrt{x+1}$ trên đoạn $\left[0;3\right]$. Tổng $S=2m+3M$ là

Thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một học sinh lớp 4 trường A được cho ở bảng sau

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)={\left(1-x\right)}^2{\left(x+1\right)}^3\left(3-x\right)$. Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:



Điểm cực tiểu của hàm số $y=f(3x)$ là

Cho $a,b$ là các số thực thoả mãn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x^3+a{x}^2-4x+b}{(x-1{)}^2}=5$. Giá trị của $2a+b$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x),G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $2F(4)-G(4)=3$ và $2F(1)-G(1)=1$. Khi đó $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(3x-2)\mathrm{d}x$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $A(2;1;1)$, $B(-1;-2;-3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):x+y+z=0$ là

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $A^{\prime }$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ và điểm $G$ thoả mãn $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$. Tỉ số $\frac{GA}{G{A}^{\prime }}$ bằng

Một đường hầm mô hình như hình vẽ có chiều dài $5(\mathrm{cm})$. Khi cắt mô hình này bởi các mặt phẳng vuông góc với đáy của nó, ta được mặt cắt là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao. Ở đó hình parabol là hình phẳng được giới hạn bởi một đường parabol và đoạn thẳng nối hai điểm thuộc parabol đồng thời vuông góc với trục đối xứng của parabol đó được gọi là đáy, khoảng cách từ đỉnh của parabol xuống đáy gọi là chiều cao. Chiều cao của mỗi mặt cắt hình parabol cho bởi công thức $y=3-\frac{2}{5}x(\mathrm{cm})$, với $x(\mathrm{cm})$ là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình đến mặt phẳng chứa mặt cắt.

Con bão YAGI đã gây ra những thiệt hại lớn cho các tỉnh phía Bắc, nhiều tổ chức và cá nhân đã tổ chức các đợt cứu trợ khẩn cấp cho người dân vùng bị ảnh hưởng. Trong đó, xã $X$ đã điều động 3 xe (xe số 1, 2 và 3) vừa chở hàng hóa vừa chở người. Để phối hợp vận chuyển hàng cứu trợ, 10 tình nguyện viên sẽ được chọn để tham gia vào các chuyến xe này. Mỗi xe có thể chở hết 10 tình nguyện viên và những người này được phân bổ lần lượt lên 3 chiếc xe một cách ngẫu nhiên.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $AB=2a$; $CA=CB=CS$. Mặt bên $SAB$ là tam giác vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng $SC$ với mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $30^{\circ }$. Gọi $H$ là trung điểm của $AB$.

Cho hàm số $f(x)=x^3-3x{\log }_{2}x$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, hình chiếu vuông góc của đỉnh $C^{\prime }$ lên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là điểm $A$. Biết $AB=2,AC=3$, $A{A}^{\prime }=3\sqrt{2}$. Xét hệ tọa độ $Oxyz$ với $O$ trùng $A$, các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt trùng với các tia $AB$, $AC$, $A{C}^{\prime }$, đơn vị trên mỗi trục là 1.

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí $O\left(0;0;0\right)$ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa $600\left(\mathrm{km}\right)$. Một máy bay A đang chuyển động với vận tốc $900\left(km/h\right)$ trên đường thẳng $d$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=-1000+100t\\ y=-300+80t\\ z=100\sqrt{11}\end{array}\left(t\in \mathbb{R}\right)$ qua vùng kiểm soát của đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ).

Kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Dũng cho bởi Bảng 15, kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Huy cho bởi Bảng 16 (đơn vị: m).


Bảng 15


Bảng 16

Câu 8. Cho hàm số $y=\frac{x^2+x-6}{x+1}$ có đồ thị là đường cong $(C)$.

Câu 1. Một bình chứa đầy nước có hình dạng hình lập phương cạnh $8\text{cm}$. Người ta đặt lên miệng bình một khối cầu có đường kính bằng $10\text{cm}$ làm cho nước trong bình bị tràn ra ngoài. Thể tích nước còn lại trong bình là bao nhiêu centimét khối? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 2. Cho một cái hộp hình hộp chữ nhật có kích thước ba cạnh lần lượt là $3(\mathrm{cm})$, $5(\mathrm{cm})$, $6(\mathrm{cm})$ như hình vẽ.



Một con kiến ở vị trí $A$ muốn đi đến vị trí $B$. Biết rằng con kiến chỉ có thể bò trên cạnh hay trên bề mặt của hình hộp đã cho. Quãng đường ngắn nhất con kiến đi từ $A$ đến $B$ bằng bao nhiêu centimet?

Câu 3. Cho tam giác đều có cạnh bằng 8. Chia tam giác này thành 64 tam giác đều có cạnh bằng 1 bởi các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác đều đã cho. Gọi $S$ là tập hợp các đỉnh của 64 tam giác đều có cạnh bằng 1. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của tập $S$. Xác suất để 4 đỉnh chọn được là bốn đỉnh của một hình bình hành bằng $\frac{a}{b}$, với $a,b$ là các số tự nhiên và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Giá trị của tổng $a^2+b$ bằng bao nhiêu?

Câu 4. Cho hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)$ đạt cực đại tại $x=0$ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.



Hỏi hàm số $y=f\left[x^3\cdot f\left(x\right)\right]$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Câu 5. Trong năm tới, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hòa: điều hòa hai chiều và điều hòa một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỉ đồng.



Biết rằng, giá mua vào và lợi nhuận dự kiến được cho bởi bảng sau:



Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại. Cửa hàng cần đầu tư kinh doanh $x$ loại máy hai chiều và $y$ loại máy một chiều thì lợi nhuận thu được là lớn nhất. Tổng $x^2+y^2$ bằng bao nhiêu?

Câu 6. Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left(1;1;1\right)$, $B\left(-1;2;0\right)$, $C\left(3;-1;2\right)$, $D\left(-23;20;-11\right)$. Điểm $M$ thay đổi thuộc mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x-y+2z+7=0$. Khi $M\left(a;b;c\right)$ thì biểu thức $T=3{\left(\frac{MA}{MD}\right)}^2+5{\left(\frac{MB}{MD}\right)}^2-7{\left(\frac{MC}{MD}\right)}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng $a^2+b^2+c^2$ bằng bao nhiêu?