Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{3}$ và mặt phẳng $(P):\left(m^2+1\right)x+(2m-1)y-z-m^2+m-3=0$. Có bao nhiêu số thực $m$ để đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(P)$?

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d$: $\vec{u}=(2;-1;3)$, VTPT của $(P)$: $\vec{n}=(m^2+1;2m-1;-1)$. Để $d\parallel (P)$ cần $\vec{n}\cdot \vec{u}=0$: $2(m^2+1)-(2m-1)-3=2m^2-2m=0\Rightarrow m=0$ hoặc $m=1$. Kiểm tra điểm $A(1;-2;0)\in d$ có thuộc $(P)$ không: thay vào $(P)$ được $(m^2+1)-2(2m-1)-0-m^2+m-3=-3m+0=-3m$. Với $m=0$: $-3m=0$, tức $A\in (P)$ nên $d$ nằm trong $(P)$, không song song. Với $m=1$: $-3m=-3\ne 0$, nên $d\parallel (P)$. Vậy chỉ có 1 giá trị $m=1$.