Câu 4. Cho hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)$ đạt cực đại tại $x=0$ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.



Hỏi hàm số $y=f\left[x^3\cdot f\left(x\right)\right]$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f(0)=-2$ là cực đại nên $f^{\prime }(0)=0$, do đó $f(x)=a{x}^3+b{x}^2-2$ với $a>0$, $b<0$ (cực tiểu tại $x=-\frac{2b}{3a}>0$). Xét $g(x)=x^{3}f(x)$: $g^{\prime }(x)=3x^{2}f(x)+x^3{f}^{\prime }(x)=x^2\left[3f(x)+x{f}^{\prime }(x)\right]=x^{2}h(x)$ với $h(x)=6a{x}^3+5b{x}^2-6$. Ta có $h^{\prime }(x)=2x(9ax+5b)$, các điểm tới hạn $x=0$ và $x=-\frac{5b}{9a}>0$. Tại $x=0$: $h(0)=-6<0$; tại $x=-\frac{5b}{9a}$: $h=\frac{375b^3}{729a^2}-6<0$ vì $b<0$. Vậy $h$ chỉ có đúng một nghiệm thực $x_1>0$ (vì $h\to -\infty$ khi $x\to -\infty$, $h\to +\infty$ khi $x\to +\infty$). Dấu $g^{\prime }(x)$ trùng dấu $h(x)$ (do $x^2>0$ với $x\ne 0$): $g$ giảm trên $(-\infty ;x_1)$, tăng trên $(x_1;+\infty )$; tại $x=0$ đạo hàm bằng 0 nhưng không đổi dấu. Vậy $g$ có đúng 1 điểm cực tiểu.