Câu 8. Cho hàm số $y=\frac{x^2+x-6}{x+1}$ có đồ thị là đường cong $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vi phân: $y=\frac{x^2+x-6}{x+1}=x-\frac{6}{x+1}$ (với $x\ne -1$).
a) $y$ nguyên khi $x$ nguyên và $(x+1)\mid 6$: $x+1\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\}$ cho 8 giá trị $x$, mỗi giá trị một điểm → đúng 8 điểm nguyên. Đúng.
b) $y^{\prime }=1+\frac{6}{(x+1{)}^2}=7\iff (x+1{)}^2=1\iff x=0$ hoặc $x=-2$: có 2 tiếp tuyến song song $d$. Đúng.
c) Vì $y=x-\frac{6}{x+1}\to x$ khi $x\to \pm \infty$, tiệm cận xiên là $y=x$. Đúng.
d) Đặt $t=x+1\ne 0$, $s=y+1=t-\frac{6}{t}$. Điểm trên $(C)$ thuộc $(T)$ khi $t^2+s^2=R^2\iff 2t^2+\frac{36}{t^2}=R^2+12$. Đặt $u=t^2>0$: $2u+\frac{36}{u}=R^2+12$ có 2 nghiệm $u>0$ (tức 4 điểm) khi và chỉ khi $R^2+12>2\sqrt{72}=12\sqrt{2}$, tức $R^2>12\sqrt{2}-12\approx 4.97$. Vậy điều kiện đúng là $R^2>12\sqrt{2}-12$, không phải $R^2>5$ (ví dụ $R^2=4.98$ đã cho 4 điểm). Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y=x-\frac{6}{x+1}$; $y$ nguyên khi $(x+1)\mid 6$, có 8 ước $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$ → 8 điểm nguyên.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1+\frac{6}{(x+1{)}^2}=7\iff (x+1{)}^2=1$ → $x=0,-2$: 2 tiếp tuyến.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=x-\frac{6}{x+1}$ nên tiệm cận xiên $y=x$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=x+1$: $t^2+(t-6/t{)}^2=R^2\iff 2u+36/u=R^2+12$, $u=t^2>0$. Có 4 điểm ⟺ phương trình có 2 nghiệm $u>0$ ⟺ $R^2+12>12\sqrt{2}$ ⟺ $R^2>12\sqrt{2}-12\approx 4.97<5$. Điều kiện $R^2>5$ chỉ là điều kiện đủ, không 'khi và chỉ khi'.