Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, hình chiếu vuông góc của đỉnh $C^{\prime }$ lên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là điểm $A$. Biết $AB=2,AC=3$, $A{A}^{\prime }=3\sqrt{2}$. Xét hệ tọa độ $Oxyz$ với $O$ trùng $A$, các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt trùng với các tia $AB$, $AC$, $A{C}^{\prime }$, đơn vị trên mỗi trục là 1.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $C(0;3;0)$. Vì hình chiếu của $C^{\prime }$ lên $(ABC)$ là $A$ nên $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$ và $C{C}^{\prime }=A{A}^{\prime }=3\sqrt{2}$. Tam giác $AC{C}^{\prime }$ vuông tại $A$: $A{C}^{\prime }=\sqrt{C{C}^{\prime 2}-A{C}^2}=\sqrt{18-9}=3$, vậy $C^{\prime }=(0;0;3)$, $A^{\prime }=(0;0;3)$, $B^{\prime }=(2;0;3)$.

a) $B^{\prime }=(2;0;3)\ne (2;-3;3)$ → sai.

b) $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(2;0;-3)$, $\overrightarrow{A^{\prime }C}=(0;3;-3)$; tích vô hướng $=9$; $|\overrightarrow{A^{\prime }B}|=\sqrt{13}$, $|\overrightarrow{A^{\prime }C}|=3\sqrt{2}$. $\cos \widehat{B{A}^{\prime }C}=\frac{9}{3\sqrt{26}}=\frac{3\sqrt{26}}{26}\ne \frac{3\sqrt{110}}{110}$ → sai.

c) Hình chữ nhật $ABDC$ (thứ tự $A,B,D,C$): $D=B+C-A=(2;3;0)$. $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(-2;-3;3)$, $\overrightarrow{D{B}^{\prime }}=(0;-3;3)$, tổng $=(-2;-6;6)$, độ dài $=\sqrt{4+36+36}=\sqrt{76}\ne \sqrt{85}$ → sai.

d) $M=(a;b;0)$. Tính: $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{M{B}^{\prime }}=a^2+b^2-2a$; $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{M{C}^{\prime }}=a^2+b^2$; $\overrightarrow{M{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{M{C}^{\prime }}=a^2+b^2-2a+9$. Vậy $P=6a^2+6b^2-8a+27$, nhỏ nhất tại $a=\frac{2}{3}$, $b=0$, $c=0$, nên $a+b+c=\frac{2}{3}\ne -\frac{1}{3}$ → sai.

Cả bốn phát biểu đều sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
B'=(2;0;3) vì B' = B + (0;0;3), không phải (2;-3;3).
b) (AI giải đề cho tôi)
cos BA'C = 9/(√13·3√2) = 3√26/26 ≠ 3√110/110.
c) (AI giải đề cho tôi)
D=(2;3;0), |DC'+DB'| = |(-2;-6;6)| = √76 ≠ √85.
d) (AI giải đề cho tôi)
M=(a;b;0): MA·MB' = a²+b²−2a; MA·MC' = a²+b²; MB'·MC' = a²+b²−2a+9. Vậy P = 6a²+6b²−8a+27, min tại a=2/3, b=0, c=0, nên a+b+c = 2/3 ≠ −1/3.