Cho hàm số .
Cho hàm số .
Các mệnh đề Đúng / Sai:
a)
Tập xác định của hàm số là .
b)
Đạo hàm của hàm số là .
c)
Phương trình có đúng một nghiệm.
d)
Biểu thức đạt giá trị lớn nhất là 4, với , , là các số thực thuộc đoạn thỏa mãn .
Đáp án chính thức: a:S,b:Đ,c:S,d:Đ
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: hàm chứa log₂x nên yêu cầu x>0, tập xác định D=(0;+∞). b) Đúng: f'(x)=3x²−3·(1/(x ln2))·x−3log₂x=3x²−3log₂x−3/ln2. c) Sai: f(x)=x(x²−3log₂x), x>0 nên f(x)=0 ⟺ x²=3log₂x. Đặt g(x)=x²−3log₂x, g'(x)=2x−3/(x ln2)=0 ⟹ x²=3/(2ln2), x≈1,471; g tại đó ≈2,164−3·0,5565≈0,494>0, và g(1)=1>0, g→+∞ khi x→0⁺ hoặc x→+∞. Vậy g(x)>0 trên (0;+∞), phương trình f(x)=0 vô nghiệm (không đúng một nghiệm). d) Đúng: đặt t=log₂x∈[0,1], f(x)=h(t)=8^t−3t·2^t. Xét φ(t)=h(t)−(1+t³); kiểm tra φ(0)=φ(1)=0 và φ(t)<0 với t∈(0,1) (ví dụ t=0,5: h≈0,707<1,125; t=0,8: h≈1,10<1,512; gần t=1 đạo hàm h'(1)=6(3ln2−1)≈6,48>3 nên φ<0 bên trái 1). Do đó h(t)≤1+t³, suy ra P=Σh(tᵢ)≤3+(t_a³+t_b³+t_c³)≤4. Dấu bằng đạt tại (log₂a,log₂b,log₂c)=(1,0,0), tức a=2,b=c=1 (thỏa ràng buộc 1≤1), khi P=f(2)+f(1)+f(1)=2+1+1=4. Vậy GTLN của P bằng 4, khẳng định đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện log₂x xác định yêu cầu x>0, nên D=(0;+∞) chứ không phải [0;+∞).
b) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=3x²−3(log₂x)'·x−3log₂x=3x²−3/(x ln2)·x−3log₂x=3x²−3log₂x−3/ln2.
c) (AI giải đề cho tôi)
f(x)=0 ⟺ x²=3log₂x (x>0). Hàm g(x)=x²−3log₂x có giá trị nhỏ nhất ≈0,494>0 tại x≈1,471, nên g(x)>0 trên (0;+∞): phương trình vô nghiệm, không phải đúng một nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với t=log₂x∈[0,1], f(x)=8^t−3t·2^t≤1+t³ (đẳng thức tại t=0 và t=1). Do đó P≤3+(log₂³a+log₂³b+log₂³c)≤4. Dấu bằng đạt tại (a,b,c)=(2,1,1) hoặc hoán vị, thỏa mãn ràng buộc, nên GTLN của P là 4.
a) Sai: hàm chứa log₂x nên yêu cầu x>0, tập xác định D=(0;+∞). b) Đúng: f'(x)=3x²−3·(1/(x ln2))·x−3log₂x=3x²−3log₂x−3/ln2. c) Sai: f(x)=x(x²−3log₂x), x>0 nên f(x)=0 ⟺ x²=3log₂x. Đặt g(x)=x²−3log₂x, g'(x)=2x−3/(x ln2)=0 ⟹ x²=3/(2ln2), x≈1,471; g tại đó ≈2,164−3·0,5565≈0,494>0, và g(1)=1>0, g→+∞ khi x→0⁺ hoặc x→+∞. Vậy g(x)>0 trên (0;+∞), phương trình f(x)=0 vô nghiệm (không đúng một nghiệm). d) Đúng: đặt t=log₂x∈[0,1], f(x)=h(t)=8^t−3t·2^t. Xét φ(t)=h(t)−(1+t³); kiểm tra φ(0)=φ(1)=0 và φ(t)<0 với t∈(0,1) (ví dụ t=0,5: h≈0,707<1,125; t=0,8: h≈1,10<1,512; gần t=1 đạo hàm h'(1)=6(3ln2−1)≈6,48>3 nên φ<0 bên trái 1). Do đó h(t)≤1+t³, suy ra P=Σh(tᵢ)≤3+(t_a³+t_b³+t_c³)≤4. Dấu bằng đạt tại (log₂a,log₂b,log₂c)=(1,0,0), tức a=2,b=c=1 (thỏa ràng buộc 1≤1), khi P=f(2)+f(1)+f(1)=2+1+1=4. Vậy GTLN của P bằng 4, khẳng định đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện log₂x xác định yêu cầu x>0, nên D=(0;+∞) chứ không phải [0;+∞).
b) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=3x²−3(log₂x)'·x−3log₂x=3x²−3/(x ln2)·x−3log₂x=3x²−3log₂x−3/ln2.
c) (AI giải đề cho tôi)
f(x)=0 ⟺ x²=3log₂x (x>0). Hàm g(x)=x²−3log₂x có giá trị nhỏ nhất ≈0,494>0 tại x≈1,471, nên g(x)>0 trên (0;+∞): phương trình vô nghiệm, không phải đúng một nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với t=log₂x∈[0,1], f(x)=8^t−3t·2^t≤1+t³ (đẳng thức tại t=0 và t=1). Do đó P≤3+(log₂³a+log₂³b+log₂³c)≤4. Dấu bằng đạt tại (a,b,c)=(2,1,1) hoặc hoán vị, thỏa mãn ràng buộc, nên GTLN của P là 4.