Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $AB=2a$; $CA=CB=CS$. Mặt bên $SAB$ là tam giác vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng $SC$ với mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $30^{\circ }$. Gọi $H$ là trung điểm của $AB$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $H(0;0;0)$, $A(a;0;0)$, $B(-a;0;0)$, $S(0;0;a)$ (vì tam giác vuông cân tại $S$ có $AB=2a$ nên $SA=SB=a\sqrt{2}$, đường cao $SH=a$). Vì $CA=CB$ nên $C$ thuộc đường vuông góc với $AB$ tại $H$: $C(0;a\sqrt{3};0)$ do góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ bằng $30^{\circ }$: $\tan 30^{\circ }=\frac{SH}{CH}\Rightarrow CH=a\sqrt{3}$. Kiểm tra: $C{S}^2=S{H}^2+C{H}^2=4a^2\Rightarrow CS=2a=CA=CB$ ✓. Hình bình hành $ABCD$ cho $D=A+C-B=(2a;a\sqrt{3};0)$.

a) $CH\perp AB$ (trung trực) và $CH\perp SH$ (vì $SH\perp (ABCD)$) $\Rightarrow CH\perp (SAB)$. Đúng.

b) $S_{ABCD}=AB\cdot CH=2a\cdot a\sqrt{3}=2a^2\sqrt{3}$, $V=\frac{1}{3}\cdot 2a^2\sqrt{3}\cdot a=\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}$. Đúng.

c) $M$ trung điểm $SD$: $M(a;\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2})$. ${\vec{u}}_{SH}=(0;0;-1)$, ${\vec{u}}_{CM}\propto (2;-\sqrt{3};1)$. Pháp tuyến chung $\vec{n}={\vec{u}}_{SH}\times {\vec{u}}_{CM}=(-\sqrt{3};-2;0)$, $\overrightarrow{SC}=(0;a\sqrt{3};-a)$. Khoảng cách $d=\frac{|\overrightarrow{SC}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{2a\sqrt{21}}{7}\ne \frac{a\sqrt{21}}{7}$. Sai.

d) Mặt $(SAB)$ là mặt $xz$ (${\vec{n}}_1=(0;1;0)$). Mặt $(SAC)$: $\overrightarrow{AS}=(-a;0;a)$, $\overrightarrow{AC}=(-a;a\sqrt{3};0)$, pháp tuyến $\propto (\sqrt{3};1;\sqrt{3})$. $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{7}}\Rightarrow \tan \phi =\sqrt{6}\ne \frac{\sqrt{6}}{6}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$CH\perp AB$ và $CH\perp SH$ nên $CH\perp (SAB)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot 2a^2\sqrt{3}\cdot a=\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách tính được là $\frac{2a\sqrt{21}}{7}$, không bằng $\frac{a\sqrt{21}}{7}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{7}}\Rightarrow \tan \phi =\sqrt{6}\ne \frac{\sqrt{6}}{6}$.