Một bể chứa có dạng hình chóp lục giác cụt đều, đáy nhỏ ở phía dưới và có độ dài cạnh đáy nhỏ bằng 2m, đáy lớn bằng 4m và chiều cao bằng 3m (tham khảo hình vẽ). Ban đầu bể không có nước. Người ta bơm nước vào bể với tốc độ không đổi là $12\sqrt{3}\left(m^3/ph\acute{u}t\right)$. Kí hiệu $h=h(t)$ (mét) là mực nước trong bể tại thời điểm $t$ phút kể từ lúc bắt đầu bơm.

(AI giải đề cho tôi)
Bể là hình chóp lục giác cụt đều, cạnh đáy nhỏ 2m (dưới), đáy lớn 4m, chiều cao 3m. Tại chiều cao $x$, cạnh đáy mặt nước là $a(x)=2+\frac{2x}{3}$. Diện tích lục giác đều cạnh $a$ là $S=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$.

a) $V(h)={\int }_0^h\frac{3\sqrt{3}}{2}{\left(2+\frac{2x}{3}\right)}^{2}dx=\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(4h+\frac{4h^2}{3}+\frac{4h^3}{27}\right)=6\sqrt{3}h+2\sqrt{3}{h}^2+\frac{2\sqrt{3}}{9}{h}^3$. Đúng với phát biểu.

b) $V^{\prime }(h)=6\sqrt{3}+4\sqrt{3}h+\frac{2\sqrt{3}}{3}{h}^2$ tăng dần trên $[0;3]$, nên $h^{\prime }(t)=\frac{12\sqrt{3}}{V^{\prime }(h)}$ giảm dần theo thời gian. Đúng.

c) $V^{\prime }(1,5)=6\sqrt{3}+6\sqrt{3}+\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{45\sqrt{3}}{4}$. Khi đó $h^{\prime }=\frac{12\sqrt{3}}{45\sqrt{3}/4}=\frac{48}{45}=\frac{16}{15}\ne \frac{8}{9}$. Sai.

d) $V(1,5)=\frac{57\sqrt{3}}{4}$ nên $t_1=\frac{57/4}{12}=\frac{19}{16}$ phút. $V(3)=42\sqrt{3}$ nên $t_2=\frac{42}{12}=\frac{7}{2}$ phút. Thời gian dâng từ 1,5m đến 3m là $\frac{7}{2}-\frac{19}{16}=\frac{37}{16}$, tỉ số $\frac{37/16}{19/16}=\frac{37}{19}\approx 1,947\ne 2$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tích phân thể tích theo $h$ cho $V(h)=\frac{2\sqrt{3}}{9}{h}^3+2\sqrt{3}{h}^2+6\sqrt{3}h$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$V^{\prime }(h)$ tăng dần nên $h^{\prime }(t)=12\sqrt{3}/V^{\prime }(h)$ giảm dần.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $h=1,5$: $h^{\prime }=\frac{16}{15}\ne \frac{8}{9}$ (m/phút).
d) (AI giải đề cho tôi)
Tỉ số thời gian là $\frac{37}{19}\approx 1,947\ne 2$.