Một căn gác có chiếc cửa sổ trôi như hình vẽ. Tính góc (theo đơn vị độ, làm tròn đến hàng phần mười) giữa mặt nghiêng của chiếc cửa sổ với mặt sàn. Biết rằng khi mặt trời chiếu vuông góc với mặt sàn thì hình chiếu của chiếc cửa sổ là một hình vuông có cạnh 1,5 m và chiều cao so với mặt sàn của các điểm $A,B,C$ lần lượt là 1,2 m, 1,3 m và 2,4 m (xem hình vẽ minh họa). [Hình cần kiểm tra lại: p26_f2]

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với mặt sàn là mặt phẳng $Oxy$. Hình chiếu của cửa sổ là hình vuông cạnh $1,5$ m nên đặt $A^{\prime }(0;0;0)$, $B^{\prime }(1,5;0;0)$, $C^{\prime }(1,5;1,5;0)$, $D^{\prime }(0;1,5;0)$ (phép chiếu vuông góc). Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $D=A+C-B$, do đó với $z_A=1,2$, $z_B=1,3$, $z_C=2,4$ ta có $z_D=1,2+2,4-1,3=2,3$.

Vậy trong không gian:
$$A(0;0;1,2),B(1,5;0;1,3),C(1,5;1,5;2,4),D(0;1,5;2,3).$$

Hai vectơ chỉ phương của mặt nghiêng:
$$\overrightarrow{AB}=(1,5;0;0,1),\overrightarrow{AD}=(0;1,5;1,1).$$

Vectơ pháp tuyến:
$$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}=(-0,15;-1,65;2,25).$$

Góc $\theta$ giữa mặt nghiêng của cửa sổ và mặt sàn thỏa:
$$\cos \theta =\frac{|n_z|}{|\vec{n}|}=\frac{2,25}{\sqrt{0,15^2+1,65^2+2,25^2}}=\frac{2,25}{\sqrt{7,8075}}\approx 0,8052.$$

Suy ra $\theta \approx 36,36^{\circ }\approx 36,4^{\circ }$.

Kiểm tra lại bằng cách khác: góc nghiêng lớn nhất của mặt phẳng so với mặt ngang có $\tan \theta =\frac{\sqrt{1,1^2+0,1^2}}{1,5}=\frac{\sqrt{1,22}}{1,5}\approx 0,7364\Rightarrow \theta \approx 36,4^{\circ }$, trùng kết quả.